已知函数f(x)的图象关于（a,0)中心对称,函数f(x)的图象关于x=b对称.求证：1、f(x)是一个周期函数；2、f

已知函数f(x)的图象关于（a,0)中心对称,函数f(x)的图象关于x=b对称.求证：1、f(x)是一个周期函数；2、f(x)的周期是T＝4(b-a).
完颜罗沁 1年前 已收到2个回答 举报
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譕鎩 幼苗

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f(x)的图象关于（a,0)中心对称有f(x)=-f(2a-x)
f(x)的图象关于x=b对称有f(x)=f(2b-x)
所以f(2b-x)=-f(2a-x)
所以f(2b+x)=-f(2a+x)
所以f(2b+(x+2a-2b))=-f(2a+(x+2a-2b))
所以f(x+2a)=-f(4a-2b+x)
所以f(2b+x)=f(4a-2b+x)
f(x)=f(4a-4b+x)
所以f(x)的周期是T＝4(a-b).
因为不知道a与b的大小,所以我认为可以讨论一下

1年前

10

wxc900522 幼苗

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解:
函数f(x)的图象关于（a,0)中心对称
=> f(2a-x) = -f(x) (1)
函数f(x)的图象关于x=b对称。
=> f(2b-x) = f(x) (2)
由 (1) (2) => f(2a-x) = -f(2a-x) (3)
令 2a-x=t => x=2a-t
代入 (3) 得 f[t+2(b-a)]=-...

1年前

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