如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩
形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=x毫米．
（1）求证：y=120-[3/2]x；
（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程t2-10pt+200q=0的两个根，而p、q的值又恰好分别是a，10，12，13，b这5个数据的众数与平均数，试求a与b的值．
形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=x毫米．（1）求证：y=120-[3/2]x；
（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程t2-10pt+200q=0的两个根，而p、q的值又恰好分别是a，10，12，13，b这5个数据的众数与平均数，试求a与b的值．
赞 队五地 春芽
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解题思路：（1）易证△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；
（2）矩形PQMN的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；
（3）把（2）中求得的长于宽的数值，代入t2-10pt+200q=0即可求得p，q的数值，根据众数与中位数的定义即可求得a与b的值．
（2）矩形PQMN的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；
（3）把（2）中求得的长于宽的数值，代入t2-10pt+200q=0即可求得p，q的数值，根据众数与中位数的定义即可求得a与b的值．
（1）证明：根据已知条件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x，（1分）
∴△APN∽△ABC．（2分）
从而有[PN/BC＝
AE
AD]（3分）
即[y/120＝
80−x
80]
∴y=120-[3/2]x（4分）
（2）设矩形PQMN的面积为S，则S=xy（5分）
即S=x（120-[3/2x）（6分）
当x=-
120
2×(−
3
2)]=40时，S有最大值为2400 （7分）
此时y=[2400/40]=60
∴x=40mm，y=60mm时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400平方毫米．（8分）
（3）由根与系数的关系，得
40+60＝10p
40×60＝200q
解得p=10，q=12（9分）
∵a为10，12，13，b的众数为10，
∴有a=10或b=10．（10分）
当a=10时，有[10+10+12+13+b/5]=12，
解得b=15
当b=10时，a=15．（11分）
（注：只答a=10，b=15不扣分）
点评：
本题考点： 二次函数的应用．
考点点评： 本题主要运用了相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法，以及众数，中位数的定义．
1年前
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