若x,y,z都是正实数,且x+y+z=xyz,求证:(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z≥2(1/x+1/y+

若x,y,z都是正实数,且x+y+z=xyz,求证:(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z≥2(1/x+1/y+1/z)
今夜潇湘独行 1年前 已收到3个回答 举报
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jnpp 幼苗

共回答了20个问题采纳率：100% 举报

左-右,以xyz为分母进行通分,化简合并后,得
分子：z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2
分母：xyz
除成3个式子:(x-y)^2/xy + (y-z)^2/yz + (z-x)^2/xz
利用 x^2 + y^2 >= 2xy 及初始条件即可证明上式每个式子都 >=0 .
即原式 左>= 右.

1年前

1

月寒星稀 幼苗

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把条件带入不等式左边，可以化为yz-1+xz-1+xy-1>=2(1/x+1/y+1/z)
继续对左边变形，有yz-1=y/x+z/x
xz-1=x/y+z/y
xy-1=x/z+y/z
待证等式化为y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>=2(1/x+1/y+1/z)
只须分别...

1年前

2

lijia530520 幼苗

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左式=（y/x+x/y）+（x/z+z/x）+（y/z+z/y）
≥2+2+2
=6（均值不等式）
=6（x+y+z）/xyz
=2xyz/xyz+2xyz/xyz+2xyz/xyz
≥2xy/xyz+2xz/xyz+2yz/xyz
=2(1/x+1/y+1/z)
(当且仅当x=y时取“=”号)

1年前

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