已知1＜21+12＜221+12+13＜23…观察上述不等式的规律，写出一个关于n的不等式，并用数学归纳法证明你所得的结

解题思路：利用已知条件归纳出不等式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明，在证明n=k+1时，方法一是利用基本不等式证明成立，方法二是利用分析法证明n=k+1成立，

关于n的不等式为1+
1

2+
1

3+…+
1

n＜2
n…..（3分）
下面由数学归纳法证明结论
（1）当n=1时，左边=1，右边=2，显然不等式成立．…..（4分）
（2）假设当n=k，（k≥1）时不等式成立，即1+
1

2+
1

3+…+
1

k＜2
k …..（5分）
当n=k+1时，1+
1

2+
1

3+…+
1

k+
1

k+1＜2
k+
1

k+1=
2
k
k+1+1

k+1
…（9分）
下面证明不等式
2
k
k+1+1

k+1＜2
k+1．
方法（一）由基本不等式可知：2
k
k+1＜k+k+1＝2k+1，所以
2
k
k+1+1

k+1＜
2k+1+1

k+1＝2
k+1…．（13分）
（方法二）要证明
2
k
k+1+1

k+1＜2
k+1
只需证2
k
k+1+1＜2(k+1)
即证2
k
k+1＜2k+1
只需证4k（k+1）＜4k²+4k+1
即证0＜10＜1显然成立，得证 …..（13分）
从而有1+
1

2+
1

3+…+
1

k+
1

k+1＜2
k+1
由（1）（2）可知对于任意的自然数n，（n≥1）不等式均成立．…..（14分）

点评：
本题考点： 数学归纳法；不等式的证明．

考点点评： 本题考查归纳推理，数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．