（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，

（1）证明：如图1，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，
∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形．

（2）①存在．
连接OD，如图2①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点，
∴OD=OC．
∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，
∴△CFE∽△DAB．
∴
S△CFE
S△DAB=（[CF/DA]）²．
∵AD=4，AB=3，
∴BD=5，
S_△CFE=（[CF/4]）²•S_△DAB
=
CF2
16×[1/2]×3×4
=
3CF2
8．
∴S_矩形EFCG=2S_△CFE
=
3CF2
4．
∵四边形EFCG是矩形，
∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，
∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，
∴∠GDC+∠CDB=90°．
∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′）处，如图2①所示．
此时，CF=CB=4．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，
如图2②所示，
此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，
如图2③所示．
S_△BCD=[1/2]BC•CD=[1/2]BD•CF
∴4×3=5×CF
∴CF=[12/5]．
∴[12/5]≤CF≤4．
∵S_矩形EFCG=
3CF2
4，
∴[3/4]×（[12/5]）²≤S_矩形EFCG≤[3/4]×4²．
∴[108/25]≤S_矩形EFCG≤12．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为[108/25]．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，如图2②所示，
∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠G″DC=∠BDA，∠DCG″=∠A=90°，
∴△DCG″∽△DAB．
∴[DC/DA]=[DG″/DB]．
∴

点评：
本题考点： 圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解决本题的关键．