设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．

解题思路：（1）f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，考虑取x=1，y=0代入，结合条件x＞0时，有0＜f（x）＜1，
可求f（0）；x＜0时，-x＞0，根据已知条件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1⇒f(x)＝

1

f(−x)

，从而可证
（2）要证函数在R上单调递减⇔x₁＜x₂时有f（x₂）＜f（x₁），结合已知条件构造f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]，利用已知可证

证明：（1）对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，所以f（1）＞0
所以 f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1
f（x）=
1
f(−x)＞1
（2）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0
根据（1）可知 f（x₁-x₂）＞1
因为f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）
所以函数是单调递减

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查抽象函数的函数值的求解，函数的单调性的定义法证明，属于中档题，函数的单调性的证明实际是通过配凑来比较函数值的大小，注意构造的技巧在解题中的 应用．

1.令x=1 y=0
f(1)=f(1)*f(0)
f(0)=1
令x>0 y=-x
f(0)=f(x)f(-x)=1
x>0 0＜f(x)＜1
f(-x)>1,即x＜0时，f(x)＞1
2.对任意x都有f(x)>0
f(x)=1/f(-x) （1中证的）
任取x1 f(x1-x2)=f(x1)f(-x2)...

证明：
（1）由题，对于任意x,y∈R，f(x+y)=f(x)f(y)
令x=y=0，则有f(0)=f(0)的平方，即f(0)=0或1
若f(0)=0，则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0（即f(x)恒等于0），这与x>0时，0＜f(x)＜1矛盾，所以f(0)=1
令x>0且取y=-x<0，则f(0)=f(x+(-x))=f(...

绝对100%的答案！