求证:a四次方+1大于等于a三次方+a

将两式相减得：
a^4+1-(a^3+a)
=a^4+1-a^3-a
=(a^4-a)-(a^3-1)
=(a-1)(a^3-1)
=(a-1)(a-1)(a^2+a+1)
=(a-1)^2(a^2+a+1)
因为(a-1)^2是一个数的平方,所以(a-1)^2大于等于0；
a^2+a+1
=a^2+a+(1/2)^2+3/4
=(a+1/2)^2+3/4
其中(a+1/2)^2也是一个数的平方所以(a+1/2)^2大于等于0,则(a+1/2)^2+3/4大于0；
所以(a-1)^2(a^2+a+1)大于等于0,即a^4+1-(a^3+a)大于等于0,所以a^4+1大于或等于a^3+a
得证!

a^4+1-a^3-a
=(a-1)(a^3-1)
=(a-1)(a-1)(a^2+a+1)
=(a-1)^2(a^2+a+1)>=0
当a=1时，等号成立
其中，(a-1)^2是完全平方数，是大于等于0的
a^2+a+1=(a+1/2)^2+3/4>0
因此原不等式成立