已知函数f（x）=x3-2（a-1）x2-（a2+b）x-b，（a，b∈R），其图象在点（-1，f（-1））处的切线方程

解题思路：（1）利用导数的运算法则可得：f′（x）=3x2-4（a-1）x-（a2+b），由于函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为x-y+1=0，可得f（-1）=0，f′（-1）=1，解出即可．（2）利用导数研究函数的单调性极值，并求出区间端点处的函数值进行比较即可得出最大值．

（1）f′（x）=3x²-4（a-1）x-（a²+b），
∵函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为x-y+1=0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=1，
可得

−1−2(a−1)+(a2+b)−b＝0
3+4(a−1)−(a2+b)＝1解得a=1，b=1．
∴a=1，b=1．
（2）由上知f（x）=x³-2x-1，则f′（x）=3x²-2
令f′（x）=0得x＝±

6
3，则x∈[−∞，−

6
3]时，f（x）单增．
x∈[−

6
3，

6
3]时，f（x）单减．x∈[

6
3，+∞]时，f（x）单增．＞
当x∈[-2，2]时，最大值只可能在f(−

6
3)及f（2）处取得
而f(−

6
3)＝
4
6
9−1＜f（2）=3，
∴0＜x＜2在区间[-2，2]上的最大值为f（2）=3．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值、导数的几何意义与切线的方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题．