教学案例是已经发生的教学过程的反映,是对教学情境的描述.

几个数学教学案例的反思与启示







程广文1 宋乃庆2
（1. 泉州师范学院 教务处,福建 泉州 362000；2. 西南师范大学 基础教育研究中心,重庆 北碚 400715）
“案例是教学理论的故乡.”〔1〕这个观点从两个方面得来：第一,教学理论应该是一种“形而下”的理论,教学理论是为教学实践服务的,离开了这个前提的“理论”不能称之为“教学理论”；第二,教学理论来源于教学实践,实践是教学理论的唯一来源,而案例则是数学教学实践的摹写,摹写案例的目的在于把数学教学实践中的教育学问题突出出来,以便更清楚地认识问题本质.不难明白,这两个方面是一个双向建构的过程.数学课堂教学活动主要包括教学主体、教学内容、教学方式和教学结果.以下四个案例分别从上述四个方面反映了数学课堂教学实践层次上的特征,同时也从一定的角度提出了研究者关于这四个阶段的观点和思考.我们对它们进行反思,目的在于从中可以得到一些启示.舒尔曼说过,“案例并非是简单地对一个教学事件的报告,称其为案例是因为在于提出一项理论主张……”〔2〕四个案例中有三个是从数学课堂第一线收集来的,另一个则来自课堂实录.这些案例虽然是个别的,但是它们所反映出的数学教学特征在数学教学实践中仍然具有一定的代表性,可以说只要走进数学课堂就可以看到案例中的情境.
一、教学主体：以教师思维代替学生思维而忘却学生的存在
案例1：“分式”概念教学
〔开始上课之前〕
T：〔板书〕根据题目意思列出代数式：
甲2小时做x个零件,乙每小时比甲少做6个零件.
1． 乙每小时做 个零件；
2． 甲乙合作小时共做 个零件；
3． 甲用m小时可做 个零件；
4． 甲做60个零件需 小时；
5． 甲乙合作y个零件需 小时.
§ 9．1 分式
例1 x取什么值时,下列分式有意义.
（1）；（2）.
〔开始上课〕
T：我们看填空题.（全班一起回答.）
（1）x－6；（2）；（3）mx；
（4）；（5）.
T：观察这五个答案,上述五个答案中（4）、（5）与前三个答案有什么不一样?
S1：（4）、（5）中有分数线.
T：中也有分数线.
S2：分母中含有字母.
T：对了,主要是分母含有字母.
T：像这样的式子,我们叫做分式.
（板书：分式定义）.
T：在课堂本子上,举几个分式的例子.
S：（开始做作业）
（注：T表示教师；S表示学生；Sk表示第K个学生；S表示全班学生.）
这节课主要是对分式概念进行教学.在教学进行之前,教师精心地设计了一个工程问题为分式教学进行铺垫.这个铺垫对分式的学习是有很大帮助的,具有较高的教学价值.铺垫后的教学有两个关键之处：第一是教师的提问,“T：观察这五个答案,上述五个答案中（4）、（5）与前三个答案有什么不一样”；第二是教师对S2的回答“分母中含有字母”的后继处理（教学）.而恰恰在这两个关键之处教师都“忘记了学生”.例如,教师的第一个提问,试图让学生从“（1）x－6；（2）；（3）mx；（4）；
（5）”这样五个代数式中区别出分式来,但是教师所提出的问题中已经“不由自主”地区别了,说（4）、（5）“与前三个答案有什么不一样”,这样提出问题使得提问的价值大为降低.首先要求学生从形式上辨别出“分式”,并且是采取比较的方式,有比较才有鉴别,教师出发点非常好,但是作为以区别分式为出发点的比较应让学生自己采用分类的方法区别开来.换句话说,如果教师让学生先观察这五个代数式然后进行分类紧接着做比较从而让学生把分式的根本特征概括出来,这样分式概念的教学前的铺垫就发挥了充分作用.把本该由学生思考的东西却由教师代为思考了,那么教师为谁而教?学生在哪里?其次,在实际教学中,当S2把教师希望提的问题的答案“分母中含有字母”说出之后,教师立即给出分式的定义并在黑板上板书.一个学生知道了教师的问题的答案并不意味着大部分学生都清楚了问题所在.更何况,还不能真正清楚S2的答案是否表明S2对问题的认识,从S1的回答足以看出这一点,更不能断定整个班级的其他60多个学生的情况了.此处,足见教师在提出问题后已经“迫不及待”等候着学生的答案了,似乎显得教师提出问题就是为了这个答案而已,而忘记了作为教学过程的目的在于使得全班学生都达到理解和认同.
二、教学内容：数学教学中以数学操作代替数学理解
案例2：“表达式”例题教学
例：已知x＝,y＝3－2t,用含x的表达式表示y.
教师这样开始教学：题目要求我们用含x的表达式表示y,那么,第一步,我们可以从式子x＝中得到（1＋t）x＝1－t.整理,得t（1＋x）＝1－x.从中求出t,得t＝.第二步,将这个t＝代入y＝3－2t中,得y＝3－2×.整理,得y＝.这样这个题目就算讲解完了.
上述数学解题教学,教师是直接“讲解”“数学理解的表达形式”,而不是“讲解”“数学理解”本身.这种形式的教学是一种“数学操作”,是一种操作性教学,不是真正意义上的教学.真正意义上的教学是具有生成意义的,没有生成意义的教学充其量算是一种“训练”.不可否认,数学教学首要的是对数学知识的掌握,但是知识的掌握并非绝对地要通过“训练”方式才能掌握,何况数学是思而至知的学问,它的学习和掌握需要理解,没有理解的“训练”不能从真正意义上获得数学知识.如果教师从问题的结论开始和学生一起分析,从什么是“用含x的表达式表示y”这一问题开始,让学生对这句话的数学语义理解了,学生就比较容易找到问题的解决思路和途径.懂了“用含x的表达式表示y”就可以理解“x＝”和“y＝3－2t”,进而理解“t＝”,问题也就解决了.
三、教学方式：数学课堂上出现形式化教学
案例3：“三角形中位线”课录节选〔3〕
T：同学们,今天上第36节课——三角形的中位线（边讲边板书,学生记在作业本上）.1． 什么叫做三角形的中位线?（教师板书学生记.）请同学们先看书,再齐读.（全班齐读三角形的中位线定义,师在黑板上画△ABC,如图1）
图1

T：请指出△ABC的中位线.
S1：在AB上找到中点D,在AC上找到中点E,连接DE.DE就是△ABC的中位线.
T：同学们,S1说得对吗?
S（齐答）：对!
T：三角形的中位线是直线,是射线,还是线段呢?请S2回答.
S2：线段.
T：是一条什么样的线段?
S2：是一条连接三角形两边的中点的线段.
T：讲得好.三角形的中位线是一条线段,它的两个端点是三角形两边的中点.除了DE,还有哪些线段是三角形的中位线呢?请S3回答.
S3：有.还有BC的中点与其他任一边上的中点的连线.
（师在图1上作EF,DF.）
T：对了,DF、EF也是三角形的中位线.请同学们看课本第155页上的第一行,这里说三角形的中位线和三角形的中线不同,请问：不同在哪里?（见S4举手.）请S4回答.
S4：中线是连接三角形一个顶点和它的对边的中点的线段.
T：对了,虽然它们都是线段,但它们连接的点不同.中位线是连接两边中点的线段,而中线是连接一个顶点和它的对边的中点的线段.（边画图2,边说明.）
图2
这是一节概念课教学.如果说概念的认知顺序是先“过程”再“对象”的话,那么在这节课中,“中位线”概念的教学顺序则只有“对象”没有“过程”.概念的认知顺序需要有过程性,原因在于“概念在过程阶段表现为一系列的固定步骤,具有操作性,相对直观,容易仿效学会”.〔4〕从教学片段看,教学仅仅停留在“对象”——中位线的定义上,而缺乏“过程”.关于中位线定义,教师教学有这样三个阶段,第一阶段是“读”,让学生“读”中位线的定义,在教学中教师提出“什么叫做三角形的中位线”并且“教师板书学生记”,然后“请同学们先看书,再齐读”,“全班齐读三角形的中位线定义”时教师“在黑板上画”；第二个阶段是“识”,让学生根据“读”来识别三角形中哪条线段是中位线,在教学中教师“请S2指出△ABC的中位线”；第三个阶段是“辨”,让学生根据“读”和“识”的结果和感受辨别中位线和中线的区别,教师的教学行为是提出“三角形的中位线是直线,是射线,还是线段呢”和“请同学们看课本第155页上的第一行,这里说三角形的中位线和三角形的中线不同,请问不同在哪里”.教学停留在中位线定义的文字上,没有从中位线的形成着手,也没有把中位线在几何中的地位和作用说明清楚.三角形中位线在几何题证明中中点的作用最大,教学中若强调中点比强调定义的文字和形式更节约时间也更能把重点突出出来,教学还更清晰.
四、教学结果：对数学理解中的自动化行为缺乏教育学反思
案例4：“有理数运算”应用题教学
例：一批面粉10包,每包标准重量为25 kg,通过称量,发现这10包与标准线位置的差如下表：
袋号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

与标准线位置差
+1
-0.5
-1.5
+0.75
-0.25
+1.5
-1
+0.5
0
+0.5


求这批面粉的总重量.
教师的讲解如下.
求代数和
（＋1）＋（－0．5）＋（－1．5）＋（0．75）＋（－0．25）＋（＋1．5）＋（－1）＋（＋0．5）＋0＋（＋0．5）＝1,我们可以求得总重量就是：
25×10＋1＝251（kg）.
这是一节初中一年级数学课中的一部分.从数学的角度来看,整道题的求解无懈可击.但是在实际课堂上这里有两个地方教师没有向学生交代清楚：第一是例题中表格里的正负号的意义.正号表示超过标准重量的意思,（＋1）就是表示超出标准重量1 kg,也就是这包面粉的重量为26 kg；负号表示低于标准重量的意思,（－1）就表示低于标准重量1 kg,也就是这包面粉重量为24 kg.这也能加深学生对正负数的概念的理解,并且是结合实际意义进行理解.所以,这个解释很重要.第二是例题讲解中对“25×10＋1＝251（kg）”中“25×10”的理解.“25×10”是一个抽象的算式,25 kg是一个观念中的重量,因此教师应该把这一点向初一的学生讲解清楚,而实际教学中教师没有做到.本人在课堂上就抽了三个学生询问了一下,没有学生知道这是为什么.
任何学科的教学都要求在该学科上有一定专业化程度的人进行教学工作.教师的学科专业化在教育学上的意义是十分明确的,没有一定的相对于所教学的内容而言层次较高的知识做准备的教师是无法在这个层次上进行该学科的教学的,数学教学尤为如此.但是,在课堂教学中教师的专业化程度越高,对数学的理解就越具有高度的自动化,从而使得对学生的数学学习状况不理解,甚至不理解学生.例如,我们常常听到一线的教师这样说,我讲得最清楚不过了,他就是听不懂,他就是做不来题目.同一个数学问题,对教师理解起来容易,但对学生理解起来太难；在教师看来是那样的显而易见,但对学生来说却很艰难.所以很多时候还需要我们广大教师好好反思一下.

注释：
〔1〕顾泠沅：《教学任务的变革》,《教育发展研究》2001年第10期.
〔2〕Shulman,L.S． Just in case：Reflections on learning from experiences． In J．Colbert,K．Trimble,＆ P．Desberg（Eds．）,The case for education：Contemporary approaches for using case methods,（P11）． Boston：Allyn ＆ Bacon,1996．
〔3〕宋阳、王梦荣等：《初中数学优秀教案课堂实录选评》,广西人民出版社1986年版,第103～106页.
〔4〕李士锜：《PME：数学教育心理》,华东师范大学出版社2001年版,第112页.
（责任编辑：李 冰）

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