已知二阶矩阵A有特征值λ 1 =1及对应的一个特征向量 e 1 = 1 1 和特征值λ 2 =2及对应的一个特征向量 e

设矩阵 A=

ab
cd ，这里a，b，c，d∈R，
因为

1
1 是矩阵A的属于λ ₁ =1的特征向量，则有

1-a-b
-c1-d

1
1 =

0
0 ①，
又因为

1
0 是矩阵A的属于λ ₂ =2的特征向量，则有

2-a-b
-c1-d

1
0 =

0
0 ②，
根据①②，则有

1-a-b=0
-c+1-d=0
2-a=0
-c=0 从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此 A=

2-1
01 ，（6分）
根据题意

1
1 ，

1
0 分别是矩阵A ^-1 属于特征值1，
1
2 的特征向量，
不妨设 A -1 =

ef
gh ，则有

ef
gh

2-1
01 =

-2e-e+f
2g-g+h =

10
01 ，
则得

1-e-f=0
-g+1-h=0

1
2 -e=0
-g=0 从而 e=
1
2 ，f=
1
2 ，g=0 ，h=1 ，因此 A -1 =


1
2
1
2
01 ．（10分）