已知双曲线方程为2x 2 -y 2 =2 ． (1) 过定点P(2 ，1) 作直线交双曲线于P 1 ，P 2

设y=kx-2k+1．
由 消y并化简，得（2-k ² ）x ² +2k（2k-1）x-4k ² +4k-3=0．
设直线与双曲线的交点P ₁ （x ₁ ，y ₁ ），P ₂ （x ₂ ，y ₂ ）．
当2-k ² ≠0即k ² ≠2时，
有
又点P(2，1)是弦P ₁ P ₂ 的中点，
，解得k=4．
当 k=4时
Δ=4k ² (2k-1) ² -4(2-k ² ) (-4k ² +4k-3)=56×5>0,
当k ² =2即 时，
与渐近线的斜率相等，
即 的直线l与双曲线不可能有两个交点，
综上所述，所求直线方程为y=4x-7．
(2)假设这样的直线l存在，设Q ₁ （x ₁ ，y ₁ ），Q2（x ₂ ，y ₂ ），
则有
∴x ₁ +x ₂ =2，y ₁ +y ₂ =2，
且 两式相减，得
∴2(x ₁ -x ₂ )(x ₁ +x ₂ )-(y ₁ -y ₂ ) (y ₁ +y ₂ )=0,
∴2(x ₁ -x ₂ )-（y ₁ -y ₂ )=0.
若直线Q ₁ Q ₂ ⊥QX，则线段Q ₁ Q ₂ 的中点不可能是点Q(1，1)，
所以直线Q ₁ Q ₂ 有斜率，于是
∴直线Q ₁ Q ₂ 的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．
由 得2x ² -（2x-1） ² =2，即2x ² -4x+3 =0，
∴Δ=16-24 <0．
这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．