高等数学初学者设函数f（x,y）=（1+xy）^y 求fy（1,1）请百忙中来帮我的朋友说出你的详细思路,为什么要这么解

看到是你
我百忙中也要抽空为你解答
问题是求fy(1,1)
就是求函数f(x,y)对y的偏导数fy(x,y)在点(1,1)的函数值
那先求fy(x,y)
求偏导数就跟一元求导是一样的,就是把其他变量看成常数就行了
这个你在前面已经问过了
对于这个f=(1+xy)^y
把x看作是常数后,并不属于我们常见的初等函数,所以没有公式直接求
其实这个是常见的,这种结构一般对两边取对数
lnf(x,y)=ln[(1+xy)^y]=y*ln(1+xy)
再求导就容易了
f'(x,y)/f(x,y)=ln(1+xy)+xy/(1+xy)
所以:
fy(x,y)=f(x,y)*[ln(1+xy)+xy/(1+xy)]
把点(1,1)代入有:
fy(1,1)=2*[ln(2)+1/2]
=1+2ln2

两边同时取自然对数，可得：
lnf(x,y)=y*ln(1+xy)
然后两边同时对y求导：
(df(x,y)/dy)/f(x,y)=ln(1+xy)+yx/(1+xy)
即：fy(x,y)=f(x,y)*ln(1+xy)+f(x,y)*xy/(1+xy)
f(1,1)由原试可得为2，那么fy(1,1)的结果也就可以求得了

令z=（1+xy）^y ,两边取自然对数lnz=ln（1+xy）^y=y*ln(1+xy) ,然后再同时对y求偏导.很容易解出fy=z*[ln(1+xy)+y/(1+xy)]=（1+xy）^y*[ln(1+xy)+xy/(1+xy)].
代入(1,1).所以fy（1，1)=1+2ln2

dF/dy=(1+x*y)^y*(log(1+x*y)+y*x/(1+x*y))=2.3863