判别级数敛散性 (n^n)/(n!)^2

令a(n)=(n^n)/(n!)^2,则a(n＋1)=[(n＋1)^(n＋1)]/[(n＋1)!]^2；lim(n→＋∞)a(n＋1)/a(n)=lim(n→＋∞)｛(n＋1)(n＋1)...(n＋1)(n＋1)/[1^2*2^2*...*n^2*(n＋1)^2]｝｛1^2*2^2*...*n^2/(n*n*...*n)｝=lim(n→＋∞)[(1＋1/n)^n]/(n＋1),因lim(n→＋∞)(1＋1/n)^n=e,lim(n→＋∞)1/(n＋1)=0,所以lim(n→＋∞)a(n＋1)/a(n)=0＜1,所以级数(n^n)/(n!)^2收敛.