如图在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最

解题思路：首先要明确P点在何处，作点M关于AC的对称点M′，根据勾股定理求出MN的长，由三角形中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．

作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，与AC的交点即是P点的位置，
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，MN=[1/2]AC，
∴[PM′/PN]=[KM′/KM]=1，
∴PM′=PN，
∴MP=PN，
∵在△MBP和△NBP中，


BN=BM
BP=BP
PN=PM，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP=60°，
∵AB=BC，
∴AP=PC，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∵PM+PN的最小值为2，
∴PM=PN=1，MN=
3，
∴AC=2
3，
AB=BC=2PM=2PN=2，
∴△ABC的周长为：2+2+2
3=4+2
3．
故答案为：4+2
3．

点评：
本题考点： 轴对称-最短路线问题

考点点评： 本题考查等腰三角形的性质和轴对称最短路线，及三角函数等知识的综合应用．正确确定P点的位置是解题的关键．

4+2*根号3

在AC上任取一点P，连接PM、PN
容易知道MN平行AC，而且点P到MN距离为定值。
设角PMN=θ，角PNM=α。令P到MN距离为H
所以PM+PN=(H/sinθ)+(H/sinα)=H(1/sinθ+1/sinα)
由均值不等式知道，当1/sinθ=1/sinα时，取最小
所以θ=α。所以PM=PN时为最小
设D为AC中点，所以(DM+DN)为...