（2014•上饶二模）已知f（x）=2ax-[1/x]-（2+a）lnx（a≥0）

（1）当a=1时，f（x）=2x-[1/x]-3lnx，f′（x）=2+[1
x2-
3/x]=
2x2−3x+1
x2=
(2x−1)(x−1)
x2，
由f′（x）＞0得0＜x＜[1/2]或x＞1；由f′（x）＜0得[1/2＜x＜1．
可知f（x）在（0，
1
2]）上是增函数，在（[1/2]，1）上是减函数．在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）的极大值为f（[1/2]）=3ln2-1，f（x）的极小值f（1）=1．
（2）f（x）=2ax-[1/x]-（2+a）lnx，f′（x）=2a+[1
x2-（2+a）•
1/x]=
2ax2−(2+a)x+1
x2，
①当0＜a＜2时，f（x）在（0，[1/2]）和（[1/a]，+∞）上是增函数，在（[1/2]，[1/a]）上是减函数；
②当a=2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③当a＞2时，f（x）在（0，[1/a]）和（[1/2]，+∞）上是增函数，在（[1/a]，[1/2]）上是减函数；
（3）当2＜a＜4时，由（2）可知f（x）在[1，3]上是增函数，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（3）-f（1）=4a-（2+a）ln3+[2/3]，
由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|对任意的a∈（2，4），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，即（m-ln3）a-2l

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 该题考查利用导数研究函数的极值、最值、单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．

1年前

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