已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

解题思路：（1）由题意可知f'（x）=-3x²+2ax≥0在[0，2]上恒成立，2a≥3x恒成立，由3x的最大值等于6，可得2a≥6，由f（2）=0得b=8-4a，故f（1）=7-3a≤-2成立．
（2）设P（x，f（x）），Q（y，f（y））是f（x）图象上的两个不同点，则

f(x)−f(y)

x−y

＜1，即x²+（y-a）x+（y²-ay+1）＞0 恒成立．由△＜0 得到 3y²-2ay-a²+4＞0恒成立，故此式的判别式△′＜0，解不等式求得a的范围．

（1）f'（x）=-3x²+2ax，由题可知f'（x）=-3x²+2ax≥0在[0，2]上恒成立．
由f'（x）=-3x²+2ax≥0 得，2ax≥3x²，当x=0时此式显然成立，a∈R；
当x∈（0，2]时，有2a≥3x恒成立，易见应当有2a≥6，∴a≥3，
可见，f'（x）=-3x²+2ax≥0在[0，2]上恒成立，须有a≥3．又f（2）=0，∴b=8-4a，
故 f（1）=a+b-1=7-3a≤-2．
（2）设P（x，f（x）），Q（y，f（y））是f（x）图象上的两个不同点，则
f(x)−f(y)
x−y＜1，
∴
(−x3+ax2+b)−(−y3+ay2+b)
x−y＜1，∴-（x²+y²+xy）+a（x+y）＜1，
∴x²+（y-a）x+（y²-ay+1）＞0 恒成立，从而△＜0，∴3y²-2ay-a²+4＞0，
从而此式的判别式△′＜0，∴a²＜3，∴a∈(−
3，
3)．

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．

考点点评： 本题考查函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，直线的斜率，把握好恒成立的条件是解题的关键和难点．