zjinyaoyao 幼苗
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a |
x |
1 |
x2 |
1 |
x |
函数f(x)=x4+ax3+bx2+ax+1,若实数a,b使得f(x)=0有实根
∴方程x4+ax3+bx2+ax+1=0,可知x≠0,因此方程可化为x2+ax+b+
a
x+
1
x2=0.
令t=x+
1
x,则t2+at+b-2=0,|t|≥2.
设g(t)=t2+at+b-2,(|t|≥2).
当−
a
2<−2时,即a>4,只需△=a2-4b+8≥0,此时a2+b2≥16.
当−
a
2>2时,即a<-4,只需△=a2-4b+8≥0,此时a2+b2≥16.
当−2≤−
a
2≤2时,即-4≤a≤4,只需(-2)2-2a+b-2≤0或22+2a+b-2≤0,
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0时,此时a2+b2≥
4
5.
∴a2+b2的最小值为[4/5].
故答案为:[4/5]
点评:
本题考点: 函数零点的判定定理.
考点点评: 本题考查了换元法和分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了分析问题和解决问题的能力,属于难题.
1年前
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