已知点A(−32，f′(1))，点B为（x，ln（x+1）），向量a＝(1，1)，令f(x)＝AB•a，g(x)＝f(x

解题思路：（I）先求出向量

AB

，再利用向量的数量积求出f（x）的表达式，最后对其求导，求出f′（1）的值即可得到函数y=f（x）的解析式；
（II）将原恒成立问题通过分离参数转化成即

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

＞k在x∈（0，+∞）时恒成立，只要求出左式表示的函数的最小值即可．最后利用导数研究函数的单调性即得整数k的最大值．

（Ⅰ）∵A(−
3
2，f′(1))，B(x，ln(x+1))，∴f(x)＝

AB•

a＝ln(x+1)+x−f′(1)+
3
2．
∴f′(x)＝
1
x+1+1，∴f′(1)＝
3
2，∴f（x）=ln（x+1）+x．
（Ⅱ）∵g(x)＝
f(x)−x+1
x＝
ln(x+1)+1
x，∴g(x)＞
k
x+1在x∈(0，+∞)时恒成立，
即
(x+1)[1+ln(x+1)]
x＞k在x∈（0，+∞）时恒成立，
令h(x)＝
(x+1)[1+ln(x+1)]
x，所以h（x）的最小值大于k．
∵h′(x)＝
x−1−ln(x+1)
x2，记φ（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），则φ′(x)＝
x
x+1＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增．
又φ（2）=1-ln3＜0，φ（3）=2-2ln2＞0，
∴φ（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）．
当x＞a时，φ（x）＞0，h′（x）＞0，
当0＜x＜a时，φ（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）_min=h（a）
=
(a+1)[1+ln(a+1)]
a＝a+1∈(3，4)，所以k=3．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的表示方法．

考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题、函数的表示方法解析式法等知识．属于中档题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化．