设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f′（x）≠0．试证存在ξ、η∈（a，b），使得f′(ξ)f′(

解题思路：本题求导函数与端点函数的关系．一般考虑到使用中值定理．ξ、η可能不相等，那么可以分成两个函数分别应用中值定理．首先对分子中的ξ点应用中值定理，即可得到关于η点的表达式，再求解．

因为函数f（x）在[a，b]上连续，所以，应用拉格朗日中值定理知：存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）•（b-a）=f（b）-f（a），即f′(ξ)＝
f(b)−f(a)
b−a．
要求存在ξ、η∈（a，b），使得
f′(ξ)
f′(η)＝
eb−ea
b−a•e−η，代入f′(ξ)＝
f(b)−f(a)
b−a，则只需求存在η∈（a，b），使得f′(η)＝
f(b)−f(a)
eb−ea•eη，即
f′(η)
eη＝
f(b)−f(a)
eb−ea．
显然，只需对g(x)＝
f(x)
ex在[a，b]上应用柯西中值定理即可．

点评：
本题考点： 柯西中值定理；拉格朗日中值定理．

考点点评： 本题考查柯西中值定理．易错点为对g（x）使用中值定理．本题需理解中值定理的各种应用形式．