在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90°,M为BC中点,D为BM上任意一点,作DF⊥AB于F点,DE⊥AC于E
在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90°,M为BC中点,D为BM上任意一点,作DF⊥AB于F点,DE⊥AC于E点,连接MF、ME、EF.试判断三角形MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
请写出证明过程。
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连接AM
因为AB=AC（已知）
所以∠B=∠C（等边对等角）
因为∠A+∠B+∠C=180（三角形内角和为180度） 因为∠A=90（已知）
所以∠B=∠C=45（等式性质）
因为DE⊥AB（已知）
所以∠BED=∠AED=90（垂直定义）
因为∠B+∠BED+∠EDB=180（三角形内角和为180度）
所以∠BDE=45=∠B（等式性质）
所以BE=DE（等角对等边）
因为DF⊥AC（已知）
所以∠AFD=90（垂直定义）
因为∠AFD=∠AED=∠EAF=90（已证）
所以四边形AEDF为矩形（有三个内角为90度的四边形是矩形）
所以AF=DE（矩形对边相等）
因为BE=DE（已证）
所以AF=BE（等量代换）
因为M是BC中点（已知） AB=AC（已知）
所以∠AMB=∠AMC=90 ∠BAM=∠CAM=∠B=45（等腰三角形底边高线、底边中线,顶角角平分线三线重合）
因为∠BAC=90（已知）
所以AM=BM=CM（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
在△AFM与△BEM中
AF=BE（已证）
∠FAM=∠B（已证）
AM=BM（已证）
所以△AFM≌△BEM（边角边）
所以EM=FM（全等三角形对应边相等） AMF=BME（全等三角形对应角相等）
因为∠BME+∠AME=∠BMA=90（已证）
所以∠AMF+∠AME=∠EMF=90（等量代换）
因为∠EMF=90 EM=FM（已证）
所以三角形MEF为等腰直角三角形
因为AB=AC（已知）
所以∠B=∠C（等边对等角）
因为∠A+∠B+∠C=180（三角形内角和为180度） 因为∠A=90（已知）
所以∠B=∠C=45（等式性质）
因为DE⊥AB（已知）
所以∠BED=∠AED=90（垂直定义）
因为∠B+∠BED+∠EDB=180（三角形内角和为180度）
所以∠BDE=45=∠B（等式性质）
所以BE=DE（等角对等边）
因为DF⊥AC（已知）
所以∠AFD=90（垂直定义）
因为∠AFD=∠AED=∠EAF=90（已证）
所以四边形AEDF为矩形（有三个内角为90度的四边形是矩形）
所以AF=DE（矩形对边相等）
因为BE=DE（已证）
所以AF=BE（等量代换）
因为M是BC中点（已知） AB=AC（已知）
所以∠AMB=∠AMC=90 ∠BAM=∠CAM=∠B=45（等腰三角形底边高线、底边中线,顶角角平分线三线重合）
因为∠BAC=90（已知）
所以AM=BM=CM（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
在△AFM与△BEM中
AF=BE（已证）
∠FAM=∠B（已证）
AM=BM（已证）
所以△AFM≌△BEM（边角边）
所以EM=FM（全等三角形对应边相等） AMF=BME（全等三角形对应角相等）
因为∠BME+∠AME=∠BMA=90（已证）
所以∠AMF+∠AME=∠EMF=90（等量代换）
因为∠EMF=90 EM=FM（已证）
所以三角形MEF为等腰直角三角形
1年前
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1年前2个回答
你能帮帮他们吗