如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，

解题思路：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为x2a2+y2b2＝1，半焦距为c，由AF=5BF，得2a=3c．（1）由题意设点C坐标（c，y），代入得椭圆的方程得出．最后由△ABC的面积为5，得出a，b的关系式解得a，b．最后写出椭圆M的方程．（Ⅱ）点P（m，n）在椭圆C上，则m2+n2＞m29+n25，从而得圆心O到直线l的距离 d＝1m2+n2＜1＝r，即直线l与圆O相交；直线l被圆O截得的弦长为 t＝2r2−d2，可得弦长t的取值范围．

（Ⅰ）由题意设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1，半焦距为c，
由AF=5BF，且AF=a+c，BF=a-c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c．（1）
由题意CF⊥AB，设 点C坐标（c，y），C在M上，
代入得y2＝b2(1−
c2
a2)＝
(a2−c2)2
a2
∴y＝
a2−c2
a． 由△ABC的面积为5，
得[1/2•2a•
a2−c2
a＝5，a²-c²=5．（2）
解（1）（2）得a=3，c=2．
∴b²=a²-c²=9-4=5．
∴所求椭圆M的方程为：
x2
9+
y2
5＝1．
（Ⅱ） 圆O到直线l：mx+ny=1距离d=
1

m2+n2]，
由点P（m，n）在椭圆M上，则
m2
9+
n2
5＝1，
显然m²+n²＞
m2
9+
n2
5，
∴m²+n²＞1，
m2+n2＞1，
∴d=
1

m2+n2＜1，
而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．
弦长t=2
1−d2=2
1−
1
m2+n2，
由
m2
9+
n2
5＝1得n2＝5(1−
m2
9)，
∴[1
m2+n2＝
9
4m2+45，t=2
1−
9
4m2+45，
∵|m|≤a，∴0≤m²≤9，45≤4m²+45≤81，
∴
4/5≤1−
9
4m2+45≤
8
9]，
弦长t的取值范围是[
4
5
5，
4
2
3]．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查了直线与椭圆，直线与圆的综合应用问题，也考查了直线过定点的问题；解题时要认真分析，灵活运用所学的知识，细心解答．