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x |
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ex |
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ex |
的的瑟瑟 幼苗
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x |
ex |
2 |
e |
1 |
e |
(1)f′(x)=lnx+1,…(1分)
当x∈(0,
1
e),f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(
1
e,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增…(2分)
①当0<t<
1
e时,t+2>
1
ef(x)min=f(
1
e)=−
1
e;…(3分)
②当[1/e≤t<t+2,即t≥
1
e]时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,
f(x)min=f(t)=tlnt; …(4分)
所以f(x)min=
−
1
e,0<t<
1
e.
tlnt,t≥
1
e…(5分)
(2)在2
1
x>xa两边取对数得[1/xln2>alnx,…(6分)
由于0<x<1,所以
a
ln2>
1
xlnx],…(7分)
令g(x)=
1
xlnx,由(1)可知,当x∈(0,1)时,g(x)≤gmax(x)≤g(
1
e)=−e(8分)
所以[a/ln2>−e,即a>-eln2.…(9分)
(3)问题等价于证明xlnx>
x
ex−
2
e(x∈(0,+∞)),…(10分)
由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是−
1
e],当且仅当x=
1
e时取到,(11分)
设m(x)=
x
ex−
2
e(x∈(0,+∞)),则m′(x)=
1−x
ex,…(12分)
易知m(x)max=m(1)=−
1
e,当且仅当x=1时取到,…(13分)
从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>
1
ex−
2
ex成立. …(14分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查利用导数研究函数的最值,利用最值解决函数的恒成立思想,不同解题的关键是构造新函数,利用新函数的性质解决问题.
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