已知数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=2n+7-2an．

解题思路：（1）由n=1，解得a₁=3．由n≥2，得3a_n=2a_n-1+2，故an−2＝

2

3

(an−1 −2)，由此能够证明{a_n-2}是首项为1，公比为[2/3]的等比数列．
（2）由an−2＝(

2

3

)n−1，知an＝2+(

2

3

)n−1，由2+（[2/3]）^n-1≤n³+kn²+9n，得k≥

2

n2

+

( 2 3 )n−1

n2

−(n+

9

n

)．故只需求出P(n)＝

2

n2

+

( 2 3 ) n−1

n2

−(n+

9

n

)的最大值即可得到k范围．

（1）n=1时，a₁=S₁=2+7-2a₁，解得a₁=3．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2-2a_n+2a_n-1，
即3a_n=2a_n-1+2，
∴an−2＝
2
3(an−1 −2)，
∴{a_n-2}是首项为1，公比为[2/3]的等比数列．
（2）由（1）知an−2＝(
2
3)n−1，
∴an＝2+(
2
3)n−1，
由2+（[2/3]）^n-1≤n³+kn²+9n，
得k≥
2
n2+
(
2
3)n−1
n2−(n+
9
n)．
∴只需求出P(n)＝
2
n2+
(
2
3) n−1
n2−(n+
9
n)的最大值即可．
设f(n)＝
2
n2，g(n)＝
(
2
3)n−1
n2 ，h(n)＝−(n+
9
n)，
∵n∈N^*，∴f（n）单调递减．
∵
g(n)
g(n+1)＝
(
2
3)n−1
n2÷
(
2
3)n
(n+1)2
=[3/2(
n+1
n)2＞1，
∴g（n）＜g（n+1），
故g（n）单调递减．
h(n)−h(n+1)＝(n+1+
9
n+1) −(n+
9
n)=
n2+n−9
n(n+1)]，
当n≥3时，h（n）＞h（n+1），
故n≥3时，h（n）单调递减．
∴n≥3时，P(n)＝
2
n2+
(
2
3) n−1
n2−(n+
9
n)随着n的增大而减小，
∵p（1）=-7，p(2)＝−
35
6，p(3)＝−
464
81，
∴p（n）的最大值为p（3）=-[464/81]．
故k≥−
464
81．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的函数特性；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等比数列的证明和数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是判断最大值时因解题能力差导致失误．解题时要认真审题，仔细解答，注意提高解题能力．