如图所示，某城市有南北街道和东西街道各n+1条，一邮递员从该城市西北角的邮局A出发，送信到东南角B地，要求所走路程最短．

解题思路：（1）求得所走路程最短共有

C

n+1 2n+2

种不同的走法，其中途径C地的走法有2

C

n 2n

种走法，由此可得邮递员途径C地的概率f（n） 的值．
（2）由2f（n）=

2(n+1)

2n+1

=1+[1/2n+1]，得只要证且n≥3 时，2＜(1+

1

n

)n＜3 即可．利用放缩法证明 2＜(1+

1

n

)n，(1+

1

n

)n＜3，从而证明不等式成立．

（1）邮递员从该城市西北角的邮局A到达东南角B地，要求所走路程最短共有
Cn+12n+2种不同的走法，其中途径C地的走法有2
Cn2n种走法，
所以邮递员途径C地的概率f（n）=
2
C n2n

Cn+12n+2=
2(2n)!
(n!)2•
[(n+1)!]2
(2n+2)!=[n+1/2n+1]．
（2）由2f（n）=
2(n+1)
2n+1=1+[1/2n+1]，得[2f（n）]²ⁿ⁺¹=(1+
1
2n+1)2n+1．
要证 n∈N^*时，2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，
只要证 n∈N^* 时，2＜(1+
1
2n+1)2n+1＜3，
因为 n∈N^* 时，2n+1∈N^*，且 2n+1≥3，
所以只要证 n∈N^* 时，且n≥3 时，2＜(1+
1
n)n＜3．
由于n≥3 时，(1+
1
n)n=
C0n+
C1n•[1/n]+
C2n•(
1
n)2+…+
Cnn•(
1
n)n＞
C0n+
C

点评：
本题考点： 二项式定理的应用；等可能事件的概率；组合及组合数公式．

考点点评： 本题主要考查排列、组合以及二项式定理的应用，等可能事件的概率，用放缩法证明不等式，属于难题．