半根烟枪
幼苗
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MN和PB的位置如右图示:(正确标出给1分)
(Ⅰ)证明:∵ND ∥ MB 且ND=MB
∴四边形NDBM为平行四边形
∴MN ∥ DB------------------------(3分)
∵NM⊄平面PDB,DB⊂平面PDB
∴MN ∥ 平面PBD---------------------------------(4分)
(Ⅱ)证明:∵QC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥QC-------------(5分)
又∵BD⊥AC,∴BD⊥平面AQC,--------------------------(6分)
∵AQ⊂面AQC,∴AQ⊥BD,
同理可得AQ⊥PB,
∵BD∩PB=B
∴AQ⊥面PDB---------------------------------------------------------------------(8分)
(Ⅲ)解法1:分别取DB、MN中点E、F,连结PE、EF、PF------------------(9分)
∵在正方体中,PD=PB
∴PE⊥DB---------------------------------(10分)
∵四边形NDBM为矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF为二面角P-DB-M的平面角------------(11分)
∵EF⊥面PMN,∴EF⊥PF
设正方体的棱长为a,则在直角三角形EFP中
∵ EF=a,PF=
2
2 a ,
∴ tan∠PEF=
PF
EF =
2
2 -----(14分)
解法2:设正方体的棱长为a,
以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图示:
则点A(a,0,0),P(a,0,a),Q(0,a,a)--------------(9分)
∴
PQ =(-a,a,0) ,
AQ =(-a,a,a) --------------(10分)
∵PQ⊥面DBM,由(Ⅱ)知AQ⊥面PDB
∴
AQ 、
PQ 分别为平面PDB、平面DBM的法向量-------------------(12分)
∴ cos<
AQ ,
PQ >=
AQ •
PQ
|
AQ |•|
PQ| =
2 a 2
2 a•
3 a =
6
3
∴ tan<
AQ ,
PQ >=
2
2 ------------------------------------------(14分)]
1年前
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