如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1 、F 2 为顶点的三角形的周长为4( +1)。一等

如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F ₁ 、F ₂ 为顶点的三角形的周长为4( +1)。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF ₁ 和PF ₂ 与椭圆的交点分别为A、B和C、D，
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程；
(Ⅱ)设直线PF ₁ 、PF ₂ 的斜率分别为k ₁ 、k ₂ ，证明：k ₁ ·k ₂ =1；
(Ⅲ)是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知： ，
所以 ，
又a ² =b ² +c ² ，因此b=2，
故椭圆的标准方程为 ，
由题意设等轴双曲线的标准方程为 ，
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，
因此双曲线的标准方程为 。
(Ⅱ)设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），P（x ₀ ，y ₀ ），
则 ，
因为点P在双曲线x ² -y ² =4上，所以x ₀ ² -y ₀ ² =4，
因此 ，即k ₁ k ₂ =1。
(Ⅲ)由于PF ₁ 的方程为y=k ₁ (x+2)，
将其代入椭圆方程得 ，
由韦达定理得 ，
所以
，
同理可得 ，
则 ，
又k ₁ k ₂ =1，
所以 ，
故|AB|+|CD|= |AB|·|CD|，
因此，存在λ= ，使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．