复合函数极限运算法则的定理中,内函数为什么不能等于其极限值?（同济高数六版上 48页）

复合函数极限运算法则的定理中,内函数为什么不能等于其极限值?（同济高数六版上 48页）
定理6说：f[g(x)]在x0的去心邻域有定义,当x趋于x0时,若lim g(x)=u0,lim f(x)=A,且存在δ0 >0,当x属于去心邻域(x0,δ0)时,有g(x)不等于u0,
则 lim f[g(x)]=lim f(u)=A .
疑问：为什么其中的 “g(x)不等于u0” 有什么意义?
注：x0,u0,δ0后面的0都是下标0,表示某一值.
diudiu1 1年前 已收到3个回答 举报
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为什么是yy 幼苗

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定理6中的条件（简称为）“g(x)≠u0”的必要性：
看这个例子：
g(x)=1 (x∈R),
f(u)为分段函数：当u≠1时,f(u)=u；当u=1时,f(u)=2,
取x0=1,则u0=1,【g(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=A,lim(x→1)f(g(x))=f(1)=2,2≠1,
即lim(x→1)f(g(x))≠A,即定理6的结论不成立.
所以,一定要有条件“g(x)≠u0”.

1年前 追问

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diudiu1 举报

你的举例中，u趋于1时，f(u)的极限为什么是1，而不是2呢？f(u)既然只在u=1时函数为常数2，那不是说1是可去间断点，所以极限还是要按f(u)=u来算的不是吗？

举报 为什么是yy

举例中，u趋于1时，f(u)的极限确实是1，而不是2：
可以把f(u)的图形画出来看一看：
对于那些【无限接近1而又不是1】的u，函数值f(u)确实是无限接近1而不是无限接近2，
按照极限的意义，所以极限是1。

确实，1是f(u)的可去间断点；但是，极限不是按照f(u)=u来算，而是按照f(u)原来的定义来算。

szg512 幼苗

共回答了9个问题 举报

"且存在δ0 >0，当x属于去心邻域(x0，δ0)时，有g(x)不等于u0"这句话其实就是说δ0足够小
见课本p32，定义1及自变量趋于有限值事函数的极限
看了还不明白可以继续问不好意思，还是不明白。既然是去心临域U，不就是说δ0足够小吗？且g(x)=u0也不和g(x)的极限是u0冲突啊？g(x)是否等于u0不是只牵涉到是否连续吗？p32第16行：适合不等式0＜|x-x0|＜δ的x...

1年前

2

cailindan 幼苗

共回答了25个问题 举报

看到P48倒数第九行的不等式。 若有 当x属于去心邻域(x0，δ0)时，有g(x)等于u0，如果f(u)在u=u0不连续，上述提到的不等式不一定成立。

1年前

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