如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．

（1）证明：过F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DBA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF=
1
2 AC+OF，
∴AB-OF=
1
2 AC．

（2）过F ₁ 作F ₁ G ₁ ⊥A ₁ B，过F ₁ 作F ₁ H ₁ ⊥BC ₁ ，则四边形F ₁ G ₁ BH ₁ 是矩形．
同（1）可得EF ₁ =F ₁ G，因此四边形F ₁ G ₁ BH ₁ 是正方形．
∴EF ₁ =G ₁ F ₁ =F ₁ H ₁ ，
即：F ₁ 是三角形A ₁ BC ₁ 的内心，
∴EF ₁ =（A ₁ B+BC ₁ -A1C1）÷2…①
∵A ₁ B+BC ₁ =AB+A ₁ A+BC-CC ₁ ，而CC ₁ =A ₁ A，
∴A ₁ B+BC ₁ =2AB，
因此①式可写成：EF ₁ =（2AB-A ₁ C ₁ ）÷2，
即AB-EF1=
1
2 A ₁ C ₁ ．

（3）由（2）得，F ₁ 是三角形A ₁ BC ₁ 的内心，且E ₁ 、G ₁ 、H ₁ 都是切点．
∴A ₁ E=（A ₁ C ₁ +A ₁ B-BC ₁ ）÷2，
如果设CC ₁ =A ₁ A=x，
A ₁ E=[A ₁ C ₁ +（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A ₁ BC ₁ 中，根据勾股定理有A ₁ B ² +BC ₁ ² =AC ₁ ² ，
即：（AB+1） ² +（AB-1） ² =100，
解得AB=7，
∴BD=7
2 ．