设n为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：82n+1+7n+2是57的倍数．

文蟒 1年前 已收到4个回答 举报
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嘎嘎的夏天 春芽

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解题思路：由于64n-7n能被57整除，则可设64n-7n=57m（m为正整数），即82n=57m+7n，根据幂的乘方得到和提公因数得到82n+1+7n+2=8×82n+49×7n=8（57m+7n）+49×7n=57（8m+7n），于是可得到82n+1+7n+2是57的倍数．

证明：∵64n-7n能被57整除，
∴64n-7n=57m（m为正整数），即82n=57m+7n，
∴82n+1+7n+2=8×82n+49×7n
=8（57m+7n）+49×7n
=57（8m+7n），
∴82n+1+7n+2是57的倍数．

点评：
本题考点： 因式分解的应用．

考点点评： 本题考查了因式分解的应用：运用因式分解的方法可简化运算．

1年前

4

bbst21 幼苗

共回答了198个问题 举报

8^(2n+1) + 7^(n+2)
= 8*8^2n + 7^2*7^n
= 8*64^n + 49*7^n
= 8*64^n + (57-8)*7^n
= 8*[64^n - 7^n] + 57*7^n
∵ 57| [64^n - 7^n]
∴ 57| 8*[64^n - 7^n] + 57*7^n

1年前

1

酸C鱼 幼苗

共回答了779个问题 举报

64的n次方-7的n次方能被57整除
∴64的n次方-7的n次方=57k, k为整数
∴64的n次方=7的n次方+57k
8的2n+1次方+7的n+2次方
=8×64的n次方+7的n+2次方
=8×（7的n次方+57k）+7的n+2次方
=8×7的n次方+8×57k+7的n+2次方
=（8+49）×7的n次方+8×57k
=57×7的...

1年前

0

right1000 幼苗

共回答了56个问题 举报

证明：8^(2n+1)+7^(n+2)
=8*8^(2n)+7^2*7^n
=8*64^n+49*7^n
=8*64^n-8*7^n+57*7^n
=8(64^n-7^n)+57*7^n
因为64^n-7^n能被57整除，且n为正整数，
所以，8(64^n-7^n)能被57整除，57*7^n也能被57整除。
所以，8^(2n+1)+7^(n+2)是57的倍数

1年前

0
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