△ABC和△ACE中,∠ABD=∠ACE=90°,∠DAB=∠CAE,M是DE的中点,求证:MB=MC

真巧,这题我以前做过
不过题目似乎打错了,应是 △ABD和△ACE中,∠ABD=∠ACE=90° 吧
证：取AB中点P,AC中点Q,连接PD、PM、QE、QM、
∵P是AB中点,M是BC中点
∴AP‖QM,QM=½AB（三角形中位线平行于第三边,且等于第三边一半）
同理,PM‖AC,PM=½AC
∴四边形APQM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴∠APM=∠AQM（平行四边形对角相等）
∵Rt△ABD中,P是AB中点
∴DP=½AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）
∴AP=BP=½AB
∴DP=AP=BP=QM
∴∠1=∠2
∵∠DPA=∠1+∠2
∴∠DPA=2∠1
同理,EQ=AQ=CQ=PM,∠AQE=2∠3
∵∠1=∠3
∴∠DPA=∠AQE
∴∠DPA+∠APM=∠AQE+∠AQM
即∠DPM=∠MQE
在△DPM与△MQE中
DP=MQ
∠DPM=∠MQE
PM=QE
∴△DPM≌△MQE（SAS）
∴MD=ME