已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．

（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°-34°=56°，
由∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=112°，
∴∠BOE=180°-112°=68°；
当∠COF=n°，
∴∠EOF=90°-n°，
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，
所以有∠BOE=2∠COF．
故答案为：68°，2n°，∠BOE=2∠COF；

（2）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．理由如下：
设∠COF=n°，如图2，
∵∠COE是直角，
∴∠EOF=90°-n°，
又∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，
即∠BOE=2∠COF；

（3）存在．理由如下：
如图3，∵∠COF=65°，
∴∠BOE=2×65°=130°，
∠EOF=∠AOF=90°-65°=25°，
而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半，
∴2∠BOD+25°=
1
2 （130°-∠BOD），
∴∠BOD=16°．