（2012•无锡一模）（1）阅读理解
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先观察和计算，并用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空：4+9＞＞2
，
4+4==2
，2+3＞＞2
．请猜想：当a＞0，b＞0，则a+b≥≥2
．
如∵(
−
)2＞0，展开(
)2+(
)2−2
＞0，∴6+5＞2
．
请你给出猜想的一个相仿的说明过程．
（2）知识应用
①如图⊙O中，⊙O的半径为5，点P为⊙O内一个定点，OP=2，过点P作两条互相垂直的弦，即AC⊥BD，作ON⊥BD，OM⊥AC，垂足为P、N，求OM2+ON2的值．
②在上述基础上，连接AB、BC、CD、DA，利用①中的结论，探求四边形ABCD面积的最大值．
先观察和计算，并用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空：4+9＞＞2
| 4×9 |
4+4==2
| 4×4 |
| 2×3 |
| ab |
如∵(
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6×5 |
| 6×5 |
请你给出猜想的一个相仿的说明过程．
（2）知识应用
①如图⊙O中，⊙O的半径为5，点P为⊙O内一个定点，OP=2，过点P作两条互相垂直的弦，即AC⊥BD，作ON⊥BD，OM⊥AC，垂足为P、N，求OM2+ON2的值．
②在上述基础上，连接AB、BC、CD、DA，利用①中的结论，探求四边形ABCD面积的最大值．
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（1）4+9＞2
4，4+4=2
4+4，2+3＞2
2×3，
猜想a+b≥2
ab，
理由是：∵（
a−
b）2≥0，
∴化简得a+b≥2
ab，
故答案为：＞，=，＞，≥．
（2）①连接OP，MN，
∵OM⊥BD，ON⊥AC，AC⊥BD，
∴∠PNO=∠NPM=∠PMO=90°，
∴四边形MPNO是矩形，
∴OP=MN，
∴OM2+ON2=MN2=OP2=4．
②连接OC，
∵由勾股定理得：MC2=OC2-OM2=25-OM2，同理BN2=25-ON2，
∴BN2+CM2=50-（OM2+ON2）=50-4=46，
∵S=
1
2AC×BD=
1
2×2BN×2CM=2BN×CM≤BN2+CM2，
∴S≤46，
即四边形ABCD的面积的最大值是46．
4，4+4=2
4+4，2+3＞2
2×3，
猜想a+b≥2
ab，
理由是：∵（
a−
b）2≥0，
∴化简得a+b≥2
ab，
故答案为：＞，=，＞，≥．
（2）①连接OP，MN，
∵OM⊥BD，ON⊥AC，AC⊥BD，
∴∠PNO=∠NPM=∠PMO=90°，
∴四边形MPNO是矩形，
∴OP=MN，
∴OM2+ON2=MN2=OP2=4．
②连接OC，
∵由勾股定理得：MC2=OC2-OM2=25-OM2，同理BN2=25-ON2，
∴BN2+CM2=50-（OM2+ON2）=50-4=46，
∵S=
1
2AC×BD=
1
2×2BN×2CM=2BN×CM≤BN2+CM2，
∴S≤46，
即四边形ABCD的面积的最大值是46．
1年前
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