证明lim(1/x+1)^x当x趋于无穷时存在极限

证明lim(1/x+1)^x当x趋于无穷时存在极限
我知道极限等于e,不管极限等于多少只要证明它存在就行
像tllau38那样的把L=lim(x->∞) (1+ 1/x)^x 要证明的结果，这样假设设起来的就别写了，这样毫无疑问是错的
sk3e 1年前 已收到2个回答 举报
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被水淹vv的鱼07 春芽

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你看这样行不行啊,要用到级数的知识.
在-10+) p(t)=lim(t->0) (1+t)^(1/t)=e
所以lim(x->+∞) (1/x+1)^x=e
至于lim(x->-∞) (1/x+1)^x=e
可以求lim(t->0+) (1-t)^(1/t)的极限
跟上面的过程一致.
最后得出lim(x->∞) (1/x+1)^x=e
这个方法,并没有事先假设lim(x->∞) (1/x+1)^x的存在,而是真正的夹逼出来的.

1年前 追问

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sk3e 举报

我觉得吧只要在证明前出现跟e有关的都是错的，对数ln里面要用到e，也就是说在证明前就用了lim(x->∞) (1+ 1/x)^x=e的结论

举报 被水淹vv的鱼07

没有啊，加个ln是恒等变形。
然后lnp(t)的极限求出来了。
那么p(t)的极限，等于e^(lnp(t))的极限，这是极限的基本性质。
你如果不用ln的话，你可以这么弄，用lg可以把。
先求出lgp(t)的极限。然后limp(t)=10^(lim (lgp(t))
你如果看懂了，都是恒等变形，并没有事先假设极限是e，
而且在很多求极限的时候，都会用到先加个ln，然后求出极限。
但是求出来的极限可能跟e一点关系都没有。
比如lim lnp(t)=ln2
那么原极限=e^(ln2)=2

sk3e 举报

lnp(t)=ln(1+t)/t=1-t/2+t^2/3+..... 你说这个是恒等式，那我还说说lim(x->∞) (1+ 1/x)^x=e是恒等式，你lnp(t)=ln(1+t)/t=1-t/2+t^2/3+..... 恒等式肯定是有lim(x->∞) (1+ 1/x)^x=e之后推出来的，假如你把ln换成lg lgp(t)≠lg(1+t)/t≠1-t/2+t^2/3+.....

举报 被水淹vv的鱼07

你学过泰勒级数么？？
你知道他是怎么来的么？？
lg(1+t)/t≠1-t/2+t^2/3+.....，这是当然的。
你如果学过对数恒等变形，你就知道lg(1+t)=ln(1+t)/ln10，只是多了一个系数而已。

sk3e 举报

这个不是麦克老林展开式吗

举报 被水淹vv的鱼07

迈克劳林不就是展开点在x=0的泰勒级数的特例么？？

sk3e 举报

lg(1+t)=ln(1+t)/ln10这个是没错，你就不觉得奇怪非要用到与e有关的ln的对数呢

举报 被水淹vv的鱼07

这么高深的问题，我这种小白基本无法回答。
你如果学的高深一些了，可以看看一些大师的专注。
比如欧拉，高斯，阿基米德，应该能够找到答案的。
还有就是这个极限到底是怎么来的。
你说躲不开与e相关的问题，这个e是自然对数。是微观世界里躲不开的一个东西。
比如半导体的电压电流符合I=i0e^(v/v0)。
这应该是人们长期观测，而通过实验数据总结出来的一个量。

sk3e 举报

我曾经数学在高中，大学也是数一数二的，现在已经三年多没有接触过数学了，最近替别人回答时发现了这个问题。因为这题的极限就是e，而你把不知来历的e出现在证明中，或多或少肯定有问题，辛苦你了。

举报 被水淹vv的鱼07

你好像把因果关系搞混了，
是e这个数字先出现的，这个数字来自于实践。
然后才有了这个极限。
这个极限是怎么来的，不知道了。

cvoiadsfupoausdo 花朵

共回答了1627个问题 举报

lim(x->∞) (1+ 1/x)^x
=e这个还用你说嘛，我都说了极限等于e，我问的是证明它存在极限，不用算出极限的值这是e 的定义都不知道存在极限的情况下，你怎么会给得出e的定义如果一定要
L=lim(x->∞) (1+ 1/x)^x
lnL =lim(x->∞) ln(1+ 1/x) / (1/x) ...

1年前

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