（2011•上海二模）对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则
（2011•上海二模）对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x2+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）试利用“基函数f（x）=log4（4+1）、g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．
（1）若f（x）=x2+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）试利用“基函数f（x）=log4（4+1）、g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．
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解题思路：（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．
（2）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b的取值范围；
（3）先用待定系数法表示出函数h（x），再根据函数h（x）的性质求出相关的参数，代入解析式，由解析研究出其单调性即可
（2）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b的取值范围；
（3）先用待定系数法表示出函数h（x），再根据函数h（x）的性质求出相关的参数，代入解析式，由解析研究出其单调性即可
（1）设h（x）=m（x2+3x）+n（3x+4）=mx2+3（m+n）x+4n，
∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）
（2）设h（x）=2x2+3x-1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb
∴
m＝2
am+n＝3
nb＝−1得
a＝
3−n
2
b＝−
1
n
∴a+2b=[3−n/2]-[2/n]=[3/2]-[n/2]-[2/n]（8分）
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈(−∞， −
1
2) ∪(
7
2，+∞)（11分）
（3）设h（x）=mlog4（4x+1）+n（x-1）
∵h（x）是偶函数，∴h（-x）-h（x）=0，
即mlog4（4-x+1）+n（-x-1）-mlog4（4x+1）-n（x-1）=0
∴（m+2n）x=0得m=-2n（13分）
则h（x）=-2nlog4（4x+1）+n（x-1）=-2n[log4（4x+1）-[1/2x+
1
2]]=-2n[log4（2x+[1
2x）+
1/2]]
∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有-2n=1∴m=1．n=−
1
2
∴h（x）=log4（2x+
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数的单调性及单调区间；函数的值．
考点点评： 本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题．
1年前
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