证明一个有限集合到它自身的满射一定是双射

设A和B是任意两个集合,函数f:A→B是一个满射.则值域{f(a)}=B,对于任意b,b∈B,至少存在一个a,a∈A使得f(a)=b.
反证法：
设一个有限集合A到它自身的满射不一定是双射.既存在函数f：A→A是满射且不是单射,至少对于函数f的值域A的某个元素a,有b≠c且都属于函数f的定义域A的两个元素,使得f(b)=a=f(c).[aj]是函数f的值的一个标记,它满足：J是一个集合,函数g使得函数f的任何值f(x),都有g(f(x))=j（j∈J）是单射,既如果g(f(x1))=g(f(x2))=j,则f(x1)=f(x2),x1未必等于x2.标记[aj],其中a=f(x),j=g(f(x)).任何a∈A,在函数f下,f(a)都有标记[aj],对于b和c这种情形的元素,它们的标记是同一个[aj].
在A中存在不被标记的元素,因为f的反函数可以把任何标记[aj]在A找到一个本象a,对于形同f(b)=a=f(c)的,只选取其中的一个本象b.那么由本象组成的集合A'显然不等于A,这是因为,如果A'=A,那么c也是一个本象了,既除了f(c)=a=f(b)的那个标记[aj]外,还有另外一个标记[ej]使得f(c)=e,并且a≠e.可见f不是一个函数.被标记的元素组成的集合和集合A'已经存在一个一一映射了.那么现在可以得到矛盾了：函数f：A→A不是满射.因为A有不被标记的元素.假设不成立.证完.