已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f （x）=[1/3]x3-[a+1/2]x2+ax．

（Ⅰ）当a=2时，f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：

x （-∞，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以，f（x）的极小值为f（2）=[2/3]．（6分）
．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
g′（x）=3x²+2bx-（2b+4）+[1/x]=
(x−1)[3x2+(2b+3)x−1]
x．
令p（x）=3x²+（2b+3）x-1，
（1）当1＜a≤2时，
f（x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a，
所以p（a）=0，
即3a²+（2b+3）a-1=0，
即b=[1−3a2−3a/2a]，
此时g（x）_极大值=g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b
=-3+
3a2+3a−1
2a=[3/2a−
1
2a−
3
2]．
由于1＜a≤2，
故[3/2a−
1
2a−
3
2]≤[3/2] x2-[1/4]-[3/2]=[5/4]．（10分）
（2）当0＜a＜1时，
f（x）的极小值点x=1，则g（x）的极小值点为x=1，
由于p（x）=0有一正一负两实根，不妨设x₂＜0＜x₁，
所以0＜x₁＜1，
即p（1）=3+2b+3-1＞0，
故b＞-[5/2]．
此时g（x）的极大值点x=x₁，
有g（x₁）=x₁³+bx₁²-（2b+4）x₁+lnx₁
＜1+bx₁²-（2b+4）x₁
=（x₁²-2x₁）b-4x₁+1　（x₁²-2x₁＜0）
＜-[5/2]（x₁²-2x₁）-4x₁+1
=-[5/2]x₁²+x₁+1
=-[5/2]（x₁-[1/5]）²+1+[1/10]（0＜x₁＜1）
≤[11/10]，＜[5/4]．
综上所述，g（x）的极大值小于等于[5/4]．（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值