用极坐标计算面积能直接积分,而计算弧长却不能,这是为什么

微积分就是把面积，分解为无数个长方形的面积

通过求和，算出来的

他的定义，那个很多长方形组成面积图

当你求面积微元的时候，看成扇形或者三角形的话，是要对半径平方的，也就是说，精确地看面积的变化，应该是 dA = (ρ + dρ)ρ/2 = ρ^2/2 + ρdρ/2， 那么相对ρ^2/2而言，dρ是小的（你可以计算dρ/dA在dθ趋于0时的极限，是0，说明半径的变化是面积变化的高阶无穷小，所以不用考虑半径变化了），所以你算微元面积的时候可以把这一项去掉； 但是你求弧长微元的时候(我看成三角形来算，用余弦定理)， (ds)^2 = ρ^2 + (ρ+dρ)^2 - 2ρ (ρ+dρ) cos(dθ)， 然后考虑极限 (dρ/ds)^2 = (dρ)^2 / [2ρ^2(1-cos(dθ)) + 2ρdρ(1-cos(dθ)) + (dρ)^2]， 现在问题来了，当角度的变化dθ趋于0时，分母第一项和第二项都会趋于零（这和上面不同，上面那个极限的分母中的ρ^2/2是没法变成0的），这样导致整个极限是1，这就说明半径的变化和长度的变化是同阶无穷小，所以这时候再把半径的变化忽略就不对了（你的算法是ds = ρdθ，就是忽略半径的变化了）。为了验证这一点，你可以用你的办法算积分，被积函数一定是 ρdθ 对吧？然后用标准的参数方程的办法积分，被积函数就是 sqrt (ρ^2 + ρ'^2)dθ，你看这里开出来后等于比你的多了一个ρ'dθ，而它恰好就是半径的变化，这就说明你此时是不能忽略半径本身的变化的。 其实也挺直观的，求面积的时候半径要平方，一个二次的变化肯定比一次的变化更主要，但是如果是求弧长，弧长和半径往往是一次函数的关系，两个变化就差不多，你就不能忽略半径的变化。 所以在使用微元法的时候还是要注意的，不能全凭借直观去算，能精确的还是尽量精确。书上一般都不说就直接用，好像给人一种微元法万能的样子，其实不是这样的。不过一般的，求面积、体积这种要乘方的积分，根据上面所说的原理，微元法应该是没问题的。关键就在于你把什么东西看成是高阶无穷小，或者看成是可以忽略的，这是使用微元法得到正确答案的前提。