证明3阶群必是循环群证明在同构意义下4阶群仅有两种

证明3阶群必是循环群：
设该群为G,则1∈G,令a∈G且a≠1,则由于ord(a) | ord(G)=3且ord(a)≠1,故ord(a)=3,因此G={1,a,a^2},G为循环群.
证明在同构意义下4阶群仅有两种：
设该群为G,因为ord(G)=4=2*2=4*1,所以任取a∈G且a≠1,必有ord(a)=2或4.
若ord(a)=4,则G=；若ord(a)=2,则存在b≠a且b≠1,使得b∈G,又由ab、ba∈G可推得ab=ba,因此G=(1,a,b,ab),即G=.在同构意义下4阶群就这两种：含有一个四阶元素或两个两阶元素.