已知a＞0，函数f（x）=x-ax2-lnx．

解题思路：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，满足函数f（x）是单调函数，从而求出a的范围，
（2）表示出f（x₁）+f（x₂）=lna+[1/4a]+ln2+1，通过求导进行证明．

（1）∵f′（x）=-
2ax2−x+1
x，（x＞0），
不妨设φ（x）=2ax²-x+1（x＞0），
则关于x的方程2ax²-x+1=0的判别式△=1-8a，
当a≥[1/8]时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当0＜a＜[1/8]时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）及x∈（x₂，+∞）时f′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，f（x）不是单调函数，
综上，a的范围是[[1/8]，+∞），
（2）由（1）知当且仅当a∈（0，[1/8]）时f（x）有极小值x₁ 和极大值x₂，
且x₁，x₂是方程的两个正根，则x₁+x₂=[1/2a]，x₁ x₂=[1/2a]，
∴f（x₁）+f（x₂）=（x₁+x₂）-a[(x1+x2)2-2x₁ x₂]-（lnx₁+lnx₂）
=ln(2a)+
1
4a+1＝lna+
1
4a+ln2+1(0＜a＜
1
8)，
令g（a）=lna+[1/4a]+ln2+1，
当a∈（0，[1/8]）时，g′（a）=[4a−1
4a2＜0，
∴g（a）在（0，
1/8]）内单调递减，
故g（a）＞g（[1/8]）=3-2ln2，
∴f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．