已知f（x）=x-lnx，g（x）=ex-x．

（Ⅰ）∵f′(x)=1-
1/x]，且f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
∴由f′(x)=1-
1
x=
x-1
x＞0，得x＞1，
由f′(x)=1-
1
x=[x-1/x]＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，…（3分）
∴当x=1时，f（x）有最小值f（1）=1．…（4分）
（Ⅱ）∵[2x-m
g(x)＞x，∴2x-m＞xg（x），g（x）=e^x-x＞0，
∴2x-m＞xe^x-x²，∴m＜x²+2x-xe^x，…（5分）
令h（x）=x²+2x-xe^x，x＞0，
则h′（x）=2x+2-e^x-xe^x=x（2-e^x）+（2-e^x）=-（x+1）（e^x-2），
∴当x＞ln2时，h′（x）0，
∴h（x）_max=h（ln2）=ln²2，…（7分）
要想存在正数x，使m＜h（x），则有m＜h（x）_max=ln²2．
∴所求的m的取值范围是m＜ln²2．…（8分）
（Ⅲ）证明：|lnx-e^x|=e^x-lnx=f（x）+g（x），…（10分）
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞0，因此g（x）在（0，+∞）上为增函数
∴g（x）＞g（0），…（11分）
由（Ⅰ）知，f（x）≥1，
∴f（x）+g（x）＞1+1=2，
即|lnx-e^x|＞2．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用

1年前

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