已知如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6
已知如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6 cm。 |
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| （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径长； （3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）。 |
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（1）证明：连接CD，交BD于点E
∴∠CDB=∠OBD=30°
∴∠BOC=60°，∵AC//BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠ACO=90°，
∴AC为⊙O切线；
（2）∵∠ACO=90°，AC//BD，
∴∠BEO=∠ACO=90°
∴DE=BE=
BD=3
，
在Rt△BEO中，sin∠O=sin60°=
，
∴
，
即⊙O的半径长为6cm；
（3）∵∠CDB=∠OBD=30°，
又∵∠CEO=∠BEO，BE=ED，
∴△CDE≌△OBE，
∴
。
∴∠CDB=∠OBD=30°
∴∠BOC=60°，∵AC//BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠ACO=90°，
∴AC为⊙O切线；
（2）∵∠ACO=90°，AC//BD，
∴∠BEO=∠ACO=90°
∴DE=BE=
BD=3
，在Rt△BEO中，sin∠O=sin60°=
，∴
，即⊙O的半径长为6cm；
（3）∵∠CDB=∠OBD=30°，
又∵∠CEO=∠BEO，BE=ED，
∴△CDE≌△OBE，
∴
。
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