如图，点A、B分别为抛物线y=−13x2+bx+4、y=[1/6]x2-2x+c与y轴交点，两条抛物线都经过点C（6，0
如图，点A、B分别为抛物线y=−
x2+bx+4、y=[1/6]x2-2x+c与y轴交点，两条抛物线都经过点C（6，
0）．点P、Q分别在抛物线y=−
x2+bx+4、y=[1/6]x2-2x+c上，点P在点Q的上方，PQ平行y轴．设点P的横坐标为m．
（1）求b和c的值．
（2）求以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时m的值．
（3）当m为何值时，线段PQ的长度取得最大值？并求出这个最大值．
（4）直接写出线段PQ的长度随m增大而减小的m的取值范围．
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0）．点P、Q分别在抛物线y=−| 1 |
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（1）求b和c的值．
（2）求以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时m的值．
（3）当m为何值时，线段PQ的长度取得最大值？并求出这个最大值．
（4）直接写出线段PQ的长度随m增大而减小的m的取值范围．
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解题思路：（1）把点C的坐标代入两抛物线解析式，计算即可求出b、c的值；
（2）求出A、B的坐标，然后求出AB的长度，再根据点P的横坐标利用抛物线解析式表示出点P、Q的坐标，然后表示出PQ的长度，根据平行四边形的对边平行且相等列出方程，然后求解即可得到m的值；
（3）根据线段PQ的表达式转化为顶点式解析式，再利用二次函数的最值问题解答即可；
（4）根据PQ的表达式的顶点式形式，利用二次函数的增减性解答即可．
（2）求出A、B的坐标，然后求出AB的长度，再根据点P的横坐标利用抛物线解析式表示出点P、Q的坐标，然后表示出PQ的长度，根据平行四边形的对边平行且相等列出方程，然后求解即可得到m的值；
（3）根据线段PQ的表达式转化为顶点式解析式，再利用二次函数的最值问题解答即可；
（4）根据PQ的表达式的顶点式形式，利用二次函数的增减性解答即可．
（1）∵两条抛物线都经过点C（6，0），
∴-[1/3]×62+6b+4=0，
解得b=[4/3]，
[1/6]×62-2×6+c=0，
解得c=6；
（2）根据题意，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（0，6），
所以，AB=2，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-[1/3]m2+[4/3]m+4），
∵PQ∥y轴，
∴点Q（m，[1/6]m2-2m+6），
∴PQ=（-[1/3]m2+[4/3]m+4）-（[1/6]m2-2m+6）=-[1/3]m2+[4/3]m+4-[1/6]m2+2m+6=-[1/2]m2+[10/3]m-2，
∴当PQ=AB时，-[1/2]m2+[10/3]m-2=2，
整理得，3m2-20m+24=0，
解得m1=
10+2
7
3，m2=
10−2
7
3，
故以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为
10+2
7
3或
10−2
7
3；
（3）由（2）知，PQ=-[1/2]m2+[10/3]m-2=-[1/2]（m-[10/3]）2+[32/9]，
所以，当m=[10/3]时，线段PQ的长度最大，线段PQ的最大长度为[32/9]；
（4）由（3）知，PQ=-[1/2]（m-[10/3]）2+[32/9]，
所以，线段PQ的长度随m增大而减小的m的取值范围是[10/3]≤m＜6．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，综合性较强，但难度不大，把点C的坐标代入函数解析式求出b、c的值是解题的关键，也是本题的突破口．
1年前
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