u3cfh 幼苗
共回答了14个问题采纳率:92.9% 举报
1年前
yueyuecool 幼苗
共回答了35个问题 举报
则f(x)=(x+1)+(x+1)^2+(x+2)^3+···+(x+1)^n
x的系数
Sn=C(1,1)+C(2,1)+C(3,1)+···+C(n,1)
=1+2+3+···+n
=n(n+1)/2
x^3的系数
Tn=C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+···+C(n,3)
=1+(4×3×2)/6+(5×4×3)/6+···+n(n-1)(n-2)/6
=1+(4×3×2)/6+(5×4×3)/6+···+(n^3-3n^2+2n)/6
=[(3^3+4^3+···+n^3)-3(3^2+4^2+···+n^2)+2(3+4+···+n)]/6
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
···
4^3-3^3=3·3^2+3·3+1
相加,得
(n+1)^3-3^3=3(3^2+4^2+···+n^2)+3(3+4+···+n)+(n-2)
(3^2+4^2+···+n^2)=[(n+1)^3-3^3-3(3+4+···+n)-(n-2)]/3
=[(n+1)^3-3^3-3(n-2)(n+3)/2-(n-2)]/3
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
···
4^4-3^4=4·3^3+6·3^2+4·3+1
相加得
(n+1)^4-3^4=4(3^3+4^3+···+n^3)+6(3^2+4^2+···+n^2)+4(3+4+···+n)+(n-2)
(3^3+4^3+···+n^3)=[(n+1)^4-3^4-6(3^2+4^2+···+n^2)-4(3+4+···+n)-(n-2)]/4
=[(n+1)^4-3^4-6(3^2+4^2+···+n^2)-4(n-2)(n+3)/2-(n-2)]/4
Tn=[(3^3+4^3+···+n^3)-3(3^2+4^2+···+n^2)+2(3+4+···+n)]/6
其实我们并不需要确定Tn的完整表达式,而只需要确定n^4的系数,
很容易确定,Tn表达式中,n^4的系数是1/24
Sn^2的表达式中,n^4的系数为1/4
则Tn-Sn^2=1/24·n^4-1/4·n^4+f(n)=-5/24·n^4+f(n),
其中f(n)为n的三次多项式
则(Tn-Sn^2)/(n^4)=-5/24+f(n)/(n^4)
当n→∞时,f(n)/(n^4)→0
则(Tn-Sn^2)/(n^4)→-5/24
即
呃,实在是不好意思,已经忘了C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+···+C(n,3)=C(n+1,4)了,看到其他人的答案才想起来,白敲了这么多字。
不过中间写的是Σn^2和Σn^3的求法,写了这么多,实在是不忍心删了,如果你感兴趣的话,可以看一下···
1年前
1年前1个回答
问个德语语序问题(第二虚拟态中【客气的询问和请求】这个用法)
1年前1个回答
1年前2个回答
1年前1个回答
你能帮帮他们吗