如图,O为三角形ABC的内心,延长AO交外接圆于点D.求证,BD=OD=CD

∵O是△ABC的内心,∴∠BAD＝∠CAD、∠ABO＝∠CBO、∠ACO＝∠BCO.
∵A、B、D、C共圆,∴∠BAD＝∠BCD、∠CAD＝∠CBD.
由∠BAD＝∠CAD、∠CAD＝∠CBD,得：∠BAD＝∠CBD,
∴∠BAD＋∠ABO＝∠CBD＋∠CBO＝∠DBO,
由三角形外角定理,有：∠DOB＝∠BAD＋∠ABO,∴∠DOB＝∠DBO,∴BD＝OD.
由∠BAD＝∠CAD、∠BAD＝∠BCD,得：∠CAD＝∠BCD,
∴∠CAD＋∠ACO＝∠BCD＋∠BCO＝∠DCO,
由三角形外角定理,有：∠DOC＝∠CAD＋∠ACO,∴∠DOC＝∠DCO,∴CD＝OD.
由BD＝OD、CD＝OD,得：BD＝OD＝CD.

证明：因为O是△ABC的内心，AO交△ABC的外接圆于D, 所以∠BAD=∠CAD, 所以BD=CD。 连结OB，因为O是△ABC的内心，则∠BOD=OAB+∠OBA=1/2（∠A+∠B）， ∠OBD=∠OBC+∠OBC。其中∠OBC=1/2∠B，∠CBD=∠DAC=1/2∠A，（同弧或等弧所对的圆周角相等),所以∠OBD=1/2（∠A+∠B），即∠BOD=∠OBD，所以BD=O...