欲修建一横断面为等腰梯形（如图）的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则

作BE⊥DC于E，

在Rt△BEC中，BC=[h/sinα]，CE=hcotα，
又AB-CD=2CE=2hcotα，AB+CD=[2S/h]，
故CD=[S/h]-hcotα．
设y=AD+DC+BC，
则y=[S/h]-hcotα+[2h/sinα]=[S/h]+
h(2−cosα)
sinα（0°＜α＜90°），
由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=[2−cosα/sinα]取最小值，
u可看作（0，2）与（-sinα，cosα）两点连线的斜率，
由于α∈（0°，90°），
点（-sinα，cosα）在曲线x²+y²=1（-1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，

当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，
此时切点为（-

3
2，[1/2]），
则有sinα=

3
2，且cosα=[1/2]，
那么α=60°，
故当α=60°时，修建成本最低．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的最值，直线与圆的位置关系，其中求出水与渠壁的接触面y的解析式，将实际问题转化为函数问题，是解答的关键．