已知函数f(x)＝xlnx（x＞0，x≠1）．

解题思路：（1）先确定函数的定义域，再求导函数，确定函数的单调区间，从而确定函数f（x）的极值；
（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；当x＞0时，在e

x

a

＞x两边取自然对数，得

x

a

＞lnx，再分0＜x≤1，x＞1，进行讨论，进而可求a的取值范围．

（1）函数f(x)＝
x
lnx的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′(x)＝
lnx−1
ln2x，…（3分）
令f'（x）=0，解得x=e，列表

x （0，1） （1，e） e （e，+∞）
f'（x） - - 0 +
（0，1） 单调递减 单调递减 极小值f（e） 单调递增由表得函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，e），单调减区间为（e，+∞）；
所以极小值为f（e）=e，无极大值．
（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；
当x＞0时，在e
x
a＞x两边取自然对数，得[x/a＞lnx，
1°当0＜x≤1时，lnx≤0，当a＞0，不等式恒成立；如果a＜0，lnx＜0，alnx＞0，不等式等价于a＜
x
lnx]，
由（1）得，此时[x/lnx∈(−∞，0)，不等式不恒成立．
2°当x＞1时，lnx＞0，则a＞0，不等式等价于a＜
x
lnx]，由（1）得，此时[x/lnx]的最小值为e，得0＜a＜e．…（14分）
综上：a的取值范围是0＜a＜e．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想，有综合性．

忘记了 都几年没碰了 知识点补熟悉