已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB•AC＝32S．

解题思路：（1）根据数量积的定义和正弦定理关于面积的公式，化简题中等式可得sinA＝

4

3

cosA，结合同角三角函数的基本关系可解出cosA的值；
（2）根据等差数列的性质，结合正弦定理化简得2sinB=sinA+sinC，用三角内角和定理进行三角恒等变换得到2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．将（1）中算出的cosA、sinA的值代入，并结合同角三角函数的基本关系，即可求出sinC＝

12

13

．

（1）∵

AB•

AC＝
3
2S，
∴bccosA＝
3
2×
1
2bcsinA，即sinA＝
4
3cosA．…（2分）
代入sin²A+cos²A=1化简整理，得cos2A＝
9
25．…（4分）
∵sinA＝
4
3cosA，可得cosA＞0，
∴角A是锐角，可得cosA＝
3
5．…（6分）
（2）∵a，b，c成等差数列
∴2b=a+c，结合正弦定理得2sinB=sinA+sinC，
即2sin（A+C）=sinA+sinC，…（8分）
因此，可得2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．①
由（1）得cosA＝
3
5及sinA＝
4
3cosA，所以sinA＝
4
5，…（10分）
代入①，整理得cosC＝
4−sinC
8．
结合sin²C+cos²C=1进行整理，得65sin²C-8sinC-48=0，…（12分）
解之得sinC＝
12
13或sinC＝−
4
5．
∵C∈（0，π），可得sinC＞0
∴sinC＝
12
13（负值舍去）．…（14分）

点评：
本题考点： 正弦定理；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题在三角形ABC中给出AB•AC＝32S，求角A的余弦，并在已知a，b，c成等差数列情况下求角C的正弦，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．