（2010•汕头一模）已知正项数列{an}的首项a1=m，其中0＜m＜1，函数f(x)＝x1+2x．

（1）∵f（x）=[x/1+2x]
∴an+1＝f(an) ＝
an
1+2an
∴[1
an+1＝
1
an+2
∴{
1
an}是公差为2的等差数列
又a1＝m，∴
1
a1＝
1/m]
∴[1
an＝
1/m+2(n−1)
∴an＝
m
1+2(n−1)m]
（2）由（1）知0＜a_n+1≤
an
1+2an
∴[1
an+1−
1
an≥2
∴
1
a2−
1
a1≥ 2，
1
a3−
1
a2≥2，…，
1
an+1−
1
an≥2，
则
1
an−
1
a1≥2(n−1)
而a₁=m，则an≤
m
1+2(n−1)m
∵0＜m＜1，∴
1

点评：
本题考点： 等差关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题综合性较强，涉及了函数与数列的关系、等差数列的证明、通项公式、求和公式等，注意解题思路分析，避免因为题意不清走了弯路，这点对于该题特别重要；
注意（2）中所使用的累加法，通过[1a2−1a1≥ 2，1a3−1a2≥ 2，…，1an+1−1an≥2的累加，获得结果1an−1a1≥2(n−1)，从而是问题得以解决；
在证明b1+b2+…+bn＜1/2]时，仍然使用了数列求和中常用的“裂项法”，使其和最终化为[1/2(1−12n+1)＝12−14n+2＜12]而得到解决．

1年前

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