如图，O是△ABC的外心，弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N，与BC边的延长线相交于点P，求证：OA 2
如图，O是△ABC的外心，弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N，与BC边的延长线相交于点P，求证：OA 2 =ON•OP． |
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证明：连接OB；
∵PM垂直平分AB，
∴OA=OB，AM=BM，OM⊥AB；
∴∠AOM=∠BOM=
1
2 ∠AOB；
∵∠ACB=
1
2 ∠AOB，∴∠ACB=∠AOM；
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC；
∵∠PNC=∠ANO，∴∠P=∠NAO；
∵∠AOM=∠MOB，
∴∠AON=∠BOP；
∴△ANO ∽ △PBO，
∴
ON
OB =
OA
OP ，即OA•OB=OP•ON；
∵OA=OB，
∴OA 2 =ON•OP．
∵PM垂直平分AB，
∴OA=OB，AM=BM，OM⊥AB；
∴∠AOM=∠BOM=
1
2 ∠AOB；
∵∠ACB=
1
2 ∠AOB，∴∠ACB=∠AOM；
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC；
∵∠PNC=∠ANO，∴∠P=∠NAO；
∵∠AOM=∠MOB，
∴∠AON=∠BOP；
∴△ANO ∽ △PBO，
∴
ON
OB =
OA
OP ，即OA•OB=OP•ON；
∵OA=OB，
∴OA 2 =ON•OP．
1年前
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