【例6】 （浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2,使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1,

2011•河东区一模）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2,使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B,点C是点A关于直线BD的对称点．
（Ⅰ）如图①,若F1：y=x2经过变换得到F2：y=x2+bx,点C坐标为（2,0）,求抛物线F2的解析式；
（Ⅱ）如图②,若F1：y=ax2+c经过变换后点B的坐标为（2,c-1）,求△ABD的面积；
（Ⅲ）如图③,若F1：y＝
1
3
x2−
2
3
x+
7
3
经过变换满足AC=2
3
,点P是直线AC上的动点,求点P到点D的距离与到直线AD的距离之和的最小值．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用y=x2经过变换得到F2：y=x2+bx,点C坐标为（2,0）,直接将C点代入即可求出；
（2）由y=ax2+c经过变换后点B的坐标为（2,c-1）,根据A（0,c）在F2上,可得a＝
1
4
,即可表示出△ABD的面积；
（3）求出y＝
1
3
x2−
2
3
x+
7
3
的顶点坐标与对称轴,从而表示出F2的解析式,判断出四边形ABCD是菱形,要使PD+PH最小,即要使PB+PH最小,进而求出．
（Ⅰ）将点C（2,0）的坐标代入抛物线F2的解析式,
得b=-2,
∴F2的解析式为y=x2-2x．
（Ⅱ）∵F2：y=a（x-2）2+c-1,
而A（0,c）在F2上,可得a＝
1
4
,
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2,
∴S△ABD=2．
（Ⅲ）如图③,点C在点A的右侧,
抛物线y＝
1
3
x2−
2
3
x+
7
3
,配方得y＝
1
3
(x−1)2+2,
顶点坐标是A（1,2）,
∵AC=2
3
,
∴点C的坐标为(1+2
3
,2)．
∵F2过点A,
∴F2的解析式为y＝
1
3
(x −1−
3
)2+1,
设AC与BD交于点N,
∴B（1+
3
,1),
∴D（1+
3
,3),
∴NB=ND=1,
∵点A与点C关于直线BD对称,
∴AC⊥DB,且AN=NC,
∴四边形ABCD是菱形．
∴AC是线段BD的垂直平分线,
∵点P在直线AC上,
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H,则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小,即要使PB+PH最小,
此最小值是点B到AD的距离,即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1,AN=
3
,DB⊥AC,
∴∠DAN=30°,故△ABD是等边三角形．
∴h＝
3
2
AD＝
3
．
∴点P到点D的距离与到直线AD的距离之和的最小值为
3
．

-2 D 2 2